题意：有\(N\)个方块，初始时站在\(1\)方块上。每个方块上有一个数\(a_i\)，等概率地随机选一个\(0\sim a_i\)的数，假设在\(x\)方块上选到了\(y\)，则跳到\(x+y\)方块。求跳到\(N\)上时，选取次数的期望值。
设\(dp[i]\)是从\(i\)走到\(N\)的期望，那么\(dp[N]=0\)。
记
\[s = dp[i+1]+dp[i+2]+\cdots+dp[i+a_i] \]
然后有
\[dp[i] = \frac{s+a_i}{a_i+1}+\frac{1}{a_i+1}\left(\frac{s+2a_i}{a_i+1}\right)+\cdots \]
\[=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{a_i+1}\right)^{n-1}\left(\frac{s+na_i}{a_i+1}\right) \]
\[=\sum_{n=1}^\infty\frac{s}{(a_i+1)^n}+\sum_{n=1}^\infty\frac{na_i}{(a_i+1)^{n}} \]
\[=\frac{s}{1-\frac{1}{a_i+1}}-s+1+\frac{1}{a_i} \]
\[=\frac{s+1}{a_i}+1 \]
最终
\[dp[i]=\frac{dp[i+1]+dp[i+2]+\cdots+dp[i+a_i]+1+a_i}{a_i} \]
其中\(s\)可以用前缀和优化。
\[\frac{s+a_i}{a_i+1}=\frac{dp[i+1]+1+dp[i+2]+1+\cdots+dp[i+a_i]+1}{a_i+1} \]
其实就是非常朴素的选择次数除以概率再相加。然后如果某一次选中了0就再往下算。
最终的代码如下
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstdint>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <deque>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define i128 __int128
#define debug(a) std::cout<<#a<<"="<<a<<std::endl
#define lth(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define htl(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--)
#define mms(x) memset(x, 0, sizeof(x))
const int MAXN = 200005;
const int INF = 0x7fffffff;
const double EPS = 1e-8;
const int MOD = 998244353;
const double PI = acos(-1);
LL arr[MAXN];
LL inv[MAXN];
LL sum[MAXN];
LL dp[MAXN];
LL qPowMod(LL a, LL n, LL b){
LL ans = 1;
while(n){
if(n&1){
ans = ans%b*a%b;
}
a = a%b*a%b;
n>>=1;
}
return ans;
}
LL fermat_inv(LL a, LL b){
return qPowMod(a,b-2,b);
}
void init(int n){
for(int i=1;i<=n;i++){
inv[i] = fermat_inv(i,MOD);
}
}
int main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
int n;
std::cin>>n;
init(n);
for(int i=1;i<=n-1;i++){
std::cin>>arr[i];
}
dp[n] = 0;
sum[n] = 0;
for(int i=n-1;i>=1;i--){
dp[i] = (((sum[i+1]-sum[i+arr[i]+1]+arr[i]+1+MOD)%MOD)*(inv[arr[i]]%MOD))%MOD;
sum[i] = (sum[i+1]+dp[i])%MOD;
}
std::cout<<dp[1]<<"\n";
return 0;
}
其中第74行的
dp[i] = (((sum[i+1]-sum[i+arr[i]+1]+arr[i]+1+MOD)%MOD)*(inv[arr[i]]%MOD))%MOD;
不能写为
dp[i] = (((sum[i+1]-sum[i+arr[i]+1]+arr[i]+1)%MOD)*(inv[arr[i]]%MOD))%MOD;
原因应当是，会出现负数。虽然按照原本的想法，sum[i+1]肯定是大于等于sum[i+arr[i]]。但是sum本身也在进行取余运算，可能会导致小于的情况，导致负数的出现。此时要加一个998244353。