信号与系统概论

信号的能量与功率

对于连续时间信号\(x(t)\)，在\(t_1\leq t\leq t_2\)内的总能量为

\[\int^{t_2}_{t_1}|x(t)|^2 dt \]

\(|\cdot|\)指的是模，因为可能是复数。

在\(n_1\leq n\leq n_2\)内的离散时间信号\(x[n]\)的总能量为

\[\sum^{n_2}_{n=n_1}|x[n]|^2 \]

功率将能量除以时间间隔即可。

能量有限信号指\(E<\infty\)的信号，此时\(P=0\)（无限长时间意义上）

功率有限信号指\(0< P<\infty\)的信号，此时\(E=\infty\)（无限长时间意义上）

时限信号为能量信号，周期信号是功率信号，非周期信号可能是其中之一，有些信号两种都不是。

自变量的变换

时移

时间翻转

时间尺度变换

周期信号

基波周期就是最小正周期。其对应的频率称为基波频率。

两个周期信号的周期分别为\(T_1\)和\(T_2\)，若\(T_1/T_2\)为有理数，则周期信号之和仍然是周期信号，其周期为\(T_1\)和\(T_2\)的最小公倍数。

离散的情况下，\(sin(\beta k)\)是否为周期信号？

如果\(2\pi/\beta\)是整数，则周期为\(N=2\pi/\beta\)
如果\(2\pi/\beta\)是有理数，则周期为\(N=M(2\pi/\beta)\)，\(M\)为使\(N\)称为正整数的最小正整数
如果\(2\pi/\beta\)是无理数，则不是周期信号。

偶信号与奇信号

任何信号都能分解成一个偶信号和一个奇信号的和。

单位冲激函数与单位阶跃函数

单位冲激的符号是\(\delta\)，单位阶跃的符号是\(\varepsilon\)或\(u\)

在离散情况下

\[\delta[n] = u[n]-u[n-1] \]

是一次差分关系

而

\[u[n] = \sum^n_{m=-\infty}\delta [m] \]

连续情况下

\[\delta(t) = \dfrac{du(t)}{dt} \]

\[u(t) = \int^t_{-\infty}\delta(\tau)d\tau \]

单位冲激的导数，即单位冲激偶有

\[\delta'(t) = \begin{cases} \pm\infty & \text{ if } t=0 \\ 0 & \text{ if } t\neq 0 \end{cases} \]

连续时间系统和离散时间系统

定义

系统的互联

需要记住的是，并联在一起的是用加法，级联在一起的是用卷积。

系统的基本性质

有记忆与无记忆

一个系统的输出仅仅取决于该时刻的输入，则为无记忆系统。

可逆系统

一个系统在不同的输入下，导致不同的输出，那么就是可逆的。

因果性

一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入和过去的输入，则称为因果系统。

因果系统的零状态响应不会出现在激励之前。

稳定性

一个稳定系统，若其输入是有界的，那么输出也必须是有界的。

时不变性

若系统的特性和行为不随时间改变，那么该系统就是时不变的。

如果在输入信号上有一个时移，而在输出信号中产生同样的时移，那么就是时不变的。

\[T[f(t-t_0)] = y(t-t_0) \]

有一个直观的办法可以判定一个系统是时变的。如果\(f(\cdot)\)前出现变系数，或者有反转、伸缩变换，则一定是时变系统。

线性

一个线性系统应该满足

\(y_1(t)+y_2(t)\)是对\(x_1(t)+x_2(t)\)的响应。
\(ay_1(t)\)是对\(ax_1(t)\)的响应，此处\(a\)为任意复常数。

可以记作

\[T[af_1(\cdot)+bf_2(\cdot)] = aT[f_1(\cdot)]+bT[f_2(\cdot)] \]

动态系统

动态系统不仅和激励\(\{f(\cdot)\}\)有关，还与它过去的历史状况\(\{x(0)\}\)有关。

完全响应

\[y(\cdot) = T[\{f(\cdot)\},\{x(0)\}] \]

零状态响应

\[y_{zs}(\cdot) = T[\{f(\cdot)\},\{0\}] \]

零输入响应

\[y_{zi}(\cdot) = T[\{0\},\{x(0)\}] \]

当动态系统满足下列三个条件时，可以成为线性系统

可分解性

\[y = y_{zs} + y_{zi} \]

零状态线性

\[T[\{af_1(\cdot)+bf_2(\cdot)\},\{0\}] = aT[\{f_1(\cdot)\},\{0\}]+bT[\{f_2(\cdot)\},\{0\}] \]

零输入线性

\[T[\{0\},\{ax_1(0)+bx_2(0)\}] = aT[\{0\},\{x_1(0)\}]+bT[\{0\},\{x_2(0)\}] \]

线性时不变系统

卷积

离散情况

\[a[n]*b[n] = \sum^{+\infty}_{k=-\infty} a[k]b[n-k] \]

连续情况

\[a(t)*b(t) = \int^{+\infty}_{-\infty}a(\tau)b(t-\tau)d\tau \]

用脉冲表示信号，及其响应

以下系统指线性时不变系统（LTI）。

脉冲信号的筛选性质：

\[x[n] = \sum^{+\infty}_{k=-\infty} x[k]\delta[n-k] = x[n]*\delta[n] \]

\[x(t) = \int^{+\infty}_{-\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau = x(t)*\delta(t) \]

一个系统对脉冲信号的（零状态）响应记作\(h\)。一个系统的特征可以完全由脉冲响应刻画，一个系统对其他信号的响应可以用该信号和脉冲响应的卷积表示。

\[y[n] = x[n]*h[n] \]

\[y(t) = x(t)*h(t) \]

通常，题目中不会给以下两个条件。因为是零状态的响应，所以\(h(0_-)=h'(0_-)=0\)

线性时不变系统的性质

线性时不变下卷积的性质

交换律
分配律
结合律

当然他都叫线性时不变系统了，肯定有线性和时不变性。

微分特性（仅限于连续情况）

\[\dfrac{d^n}{dt^n}[f_1*f_2] = \dfrac{d^n f_1}{dt^n}*f_2 = f_1*\dfrac{d^n f_2}{dt^n} \]

积分特性（仅限于连续情况）

\[\int^t_{-\infty}[f_1*f_2]d\tau = [\int^t_{-\infty}f_1d\tau]*f_2 = f_1 * [\int^t_{-\infty}f_2d\tau] \]

\(f_1(-\infty)=0\)或\(f_2'(\infty) = 0\)（仅限连续情况）

\[f_1*f_2=f_1'*f_2' \]

（后向）差分特性（仅限于离散情况）

\[\nabla[f_1*f_2] = \nabla f_1*f_2 = f_1*\nabla f_2 \]

时移特性

若\(f(t)=f_1(t)*f_2(t)\)

则

\[f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2) = f_1(t-t_1-t_2)*f_2(t) = f_1(t)*f_2(t-t_1-t_2) = f(t-t_1-t_2) \]

无记忆的LTI

因为输出只和当前的输入有关，所以其冲激响应为\(h(t)=K\delta(t)\)。

系统对于其他信号的响应就为\(y(t)=Kx(t)\)。离散的情况类似。

微分特性

\[if\quad x(t)\to y(t)\quad then\quad x'(t)\to y'(t) \]

积分特性

\[if\quad x(t)\to y(t)\quad then\quad \int^t_{-\infty}x(t)dt\to \int^t_{-\infty}y(t)dt \]

可逆性

仅当存在一个逆系统，其与原系统级联后所产生的输出等于第一个系统的输入时，这个系统才是可逆的。

设一个系统的冲激响应是\(h(t)\)，逆系统的冲激响应是\(h_1(t)\)，则

\[h(t)*h_1(t) = \delta(t) \]

离散的情况类似。

因果性

如果\(h(t)=0,t<0\)，那么一个LTI就是因果的，这时

\[y(t) = \int^t_{-\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau = \int^\infty_0 h(\tau)x(t-\tau)d\tau \]

稳定性

一个稳定的离散LTI，要求

\[\sum^{+\infty}_{k=-\infty}|h[k]| < \infty \]

一个稳定的连续LTI，要求

\[\int^{+\infty}_{-\infty} |h(\tau)|d\tau < \infty \]

LTI的单位阶跃响应

单位阶跃响应记作\(s\)或\(g\)

\[s[n] = u[n]*h[n] = \sum^n_{k=-\infty}h[k] \]

\[h[n] = s[n]-s[n-1] \]

\[s(t) = \int^t_{-\infty} h(\tau)d\tau \]

\[h(t) = \dfrac{ds(t)}{dt} \]

用微分方程描述的连续因果线性时不变系统

微分方程

微分方程的形式如下

\[y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+\cdots+a_{1}y^{(1)}(t)+a_0y(t) = b_{m}f^{(m)}(t)+b_{m-1}f^{(m-1)}(t)+\cdots+b_{1}f^{(1)}(t)+b_{0}f(t) \]

解的形式如下

\[y(t) = y_h(t) + y_p(t) \]

其中\(y_h\)是齐次解，\(y_p\)是特解。

齐次解是对应的齐次方程

\[y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+\cdots+a_{1}y^{(1)}(t)+a_0y(t) = 0 \]

的解。

解这个方程，我们首先要求得特征根\(\lambda\)，由以下方程解出

\[\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_0=0 \]

对于每一个\(\lambda_i\)，

如果它是单实根，则

\[y_h = Ce^{\lambda t} \]

如果它是二重实根，则

\[y_h = (C_1t+C_0)e^{\lambda t} \]

如果是一对共轭复根\(\lambda_{1,2} = \alpha\pm j\beta\)，则

\[e^{\alpha t}[C\cos(\beta t)+D\sin(\beta t)] \]

整个齐次解就是把这些对于每一个\(\lambda_i\)的齐次解加起来，再根据条件求出待定系数。

特解的常见形式为

激励为\(f(t)=t\)时，如果所有的特征根均不等于\(0\)，

\[P_1 t+P_0 \]

如果有\(1\)个等于\(0\)的特征根，

\[t(P_1t+P_0) \]

激励为\(f(t)=e^{\alpha t}\)，如果\(\alpha\)不等于特征根

\[Pe^{\alpha t} \]

如果\(\alpha\)等于特征根

\[(P_1t+P_0)e^{\alpha t} \]

激励为\(cos(\beta t)\)或\(\sin(\beta t)\)，如果所有的特征根都不等于\(\pm j\beta\)

\[P\cos(\beta t) + Q\sin(\beta t) \]

这个通常可以把\(y_p\)直接代入原方程求解系数。

激励为\(\delta,\varepsilon\)等时，由于我们的特解是零状态响应中的部分，所以都是在\(0_+\)时的取值，我们直接把激励在\(0_+\)的值写在等号右边，然后设定\(y_p=p\)（常数），解出\(p\)即可。显然，\(p\)的值会是\(\varepsilon\text{的系数}/y\text{的系数}\)（因为\(y\)现在是常数，任意阶导数为\(0\)）。如果是\(e^t\varepsilon(t)\)这种形式又怎么办呢，还是老话，我们求特解是\(0_+\)时的值，此时看做激励为\(e^t\)，然后用上面的特解。

注意，如果题目给的条件是\(y(0),y'(0)\)等条件，我们需要在全解中去求齐次解中设的参数。如果题目给的条件是\(y_{zi},y'_{zi}\)等条件，我们在齐次解中求参数即可。

题目中也可能只给出\(y(0^-),y'(0^-)\)的条件，这显然就是给零输入条件。如果你还要求出零状态响应和全解，你必须在这之前求出\(y(0^+),y'(0^+)\)，才能带进去求零状态响应的参数，求解方法见后。

如果给的激励包含多种情况？我自己的思考是，求出冲激响应即可，然后根据线性性质，将激励分别与冲激响应卷积，再相加。

还有一种办法是求频率响应\(H(jw)\)来求零状态响应，见后。

系统的初始值

初始值是\(n\)阶系统在\(t=0\)时接入激励，其响应在\(t=0_+\)时刻的值，即\(y^{(j)}(0_+) (j=0,1,2,\cdots,n-1)\)。

初始状态是指系统在激励尚未接入的\(t=0_-\)时刻的响应值\(y^{(j)}(0_-)\)，该值反映了系统的历史情况，而与激励无关。

例如\(y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2\delta(t)+6\varepsilon(t)\)，（老师在PPT中给出但我没有看懂的办法是）两端积分

\[\int^{0_+}_{0_-}y''(t)dt+3\int^{0_+}_{0_-}y'(t)dt+2\int^{0_+}_{0_-}y(t)dt = 2\int^{0_+}_{0_-}\delta(t)dt + 6\int^{0_+}_{0_-}\varepsilon(t)dt \]

其中从左到右每一项分别对应，\(y'(0_+)-y'(0_-),y(0_+)-y(0_-),0,2,0\)

所以\(y'(0_+)-y'(0_-) = 2, y(0_+)-y(0_-) = 0\)

结论是，微分方程等号右边含有\(\delta(t)\)及其各阶导数时，响应\(y(t)\)及其各阶导数由\(0_-\)到\(0_+\)的瞬间将发生跃变（如果不含，则\(y(t)\)在t=0处是连续的，\(y(0_+)=0\)）。这时可按如下步骤由\(0_-\)求取\(0_+\)（以二阶系统为例）

将\(f(t)\)代入微分方程。如果等号右边含有\(\delta(t)\)及其各阶导数，根据微分方程等号两端各奇异函数的系数相等原理，判断方程左端\(y(t)\)的最高阶导数所含\(\delta(t)\)导数的最高阶次。
令\(y''(t) = a\delta''(t)+b\delta'(t)+c\delta(t)+r_0(t)\)（其中\(r_0(t)\)是指不含\(\delta(t)\)及其各阶导数的项，在第四步中的积分，由于不含这些项，所以是\(0\)），对\(y''(t)\)进行积分（从\(-\infty\)到\(t\)），求得\(y'(t),y(t)\)。
将\(y'',y',y\)代入微分方程，根据等号两端各奇异函数的系数相等，从而求得各个待定系数。
分别对\(y',y''\)等号两端从\(0_-\)到\(0_+\)积分，求得\(0_+\)值

用这种方法能对上式较好的求解。

必须要提到的一点是，设\(g(f) = \int^{0_+}_{0_-}f(x)dx\)，应该只有\(f(x)=\delta(x)\)（不考虑常数系数），才有\(g(f)=1\)，其他全部都有\(g(f)=0\)。或许有其他函数也满足\(g(f)\neq 0\)，但是在信号这里，所有连续的函数、阶跃函数、冲激函数的导数、二阶导数、\(n\)阶导数\(g(f)\)都等于\(0\)，只有冲激函数自己等于\(1\)。

零输入响应

记作\(y_{zi}\)，对应齐次微分方程的解。故不存在跃变。

零状态响应

记作\(y_{zs}\)，对应非齐次方程的解，需要求出来齐次解和特解，再加起来。最后的全响应需要将零输入和零状态加起来。注意零输入和零状态都要求一个齐次解，虽然它们形式相同，但是系数可能不同。

有一种投机取巧的办法求全响应就是用电路课中介绍的三要素法。

响应分类

响应可以分为固有响应和强迫响应

固有响应仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关。是微分方程的齐次解。

强迫响应与激励的函数形式有关。是微分方程的特解。

响应可以分为暂态响应和稳态响应

暂态响应是指响应中暂时出现的分量，随着时间的增长，它将消失。

稳态响应是稳定的分量，若存在，通常表现为阶跃函数和周期函数。比如，电路系统中的直流稳态响应和正弦稳态响应。

微分方程求冲激响应

例如我们有\(y''+a_1y'+a_0y' = b_2f''+b_1f'+b_0f\)，我们可以分两步进行

选择一个响应\(h_1(t)\)，使得

\[h_1''+a_1h_1'+a_0h_1 = \delta \]

\[h_1(0_-)=h_1'(0_-) = 0 \]

计算出\(h_1(0_+),h_1'(0_+)\)，然后我们使用之前提到的解法求出\(h_1\)，不过显然这里特解为\(0\)，和齐次解具有同样的形式。冲激响应求的是一种零状态响应，虽然它和齐次解有同样的形式。

根据线性性质和微分特性，可知\(h = b_2h_1''+b_1h_1'+b_0h_1\)。不过注意这个\(b_i\)是常数，如果我们等式右边是\(b_2f''+b_0f+q\)，这个\(q\)不是\(f\)的导数（其他情况类似），则我们的\(h=b_2h_1''+b_0h_1+q*h_1\)。当然你也可以全部都做卷积，只是不是把\(b_2,b_1,b_0\)拿来做卷积，而是把整体的\(b_2f'',b_1f',b_0f\)拿来做卷积。如果\(f=h\)，卷积的结果就是\(b_2h_1''+b_1h_1'+b_0h_1\)

当然我强烈推荐你用拉普拉斯变换来算。

微分方程求阶跃响应

类似的，还是上面那个例子

选择一个响应\(g_1(t)\)，使得

\[g_1''+a_1g_1'+a_0g_1 = \varepsilon \]

\[g_1(0_-)=g_1'(0_-) = 0 \]

计算出\(g_1(0_+),g_1'(0_+)\)，然后我们使用之前提到的解法求出\(g_1\)。阶跃响应求的是一种零状态响应，它有特解和齐次解。

根据线性性质和微分特性，可知\(g = b_2g_1''+b_1g_1'+b_0g_1\)

或者，如果我们已知冲激响应，我们有更简单的办法，由于微积分特性，我们可以求出

\[g(t) = \int^t_{-\infty} h(\tau)d\tau \]

同理

\[h(t) = g'(t) \]

用差分方程描述的离散因果线性时不变系统

差分方程

一般形式为

\[y[k]+a_{n-1}y[k-1]+\cdots+a_0y[k-n] = b_mf[k]+\cdots+b_0f[k-m] \]

和微分方程相似，差分方程的解也可以分为\(y = y_h+y_p\)

齐次解也是由齐次方程求特征根得到。

对于每一个\(\lambda_i\)，

如果它是单实根，则

\[y_h = C\lambda^k \]

如果它是二重实根，则

\[y_h = (C_1k+C_0)\lambda^k \]

如果是一对共轭复根\(\lambda_{1,2} = \alpha\pm j\beta\)，则

\[\rho^k[C\cos(\beta k)+D\sin(\beta k)] \]

整个齐次解就是把这些对于每一个\(\lambda_i\)的齐次解加起来，再根据条件求出待定系数。

特解的常见形式为

激励为\(f[k]=k\)时，如果所有的特征根均不等于\(1\)，

\[P_1 k+P_0 \]

如果有\(1\)个等于\(1\)的特征根，

\[k(P_1k+P_0) \]

激励为\(f[k]=a^k\)，如果\(a\)不等于特征根

\[Pa^k \]

如果\(a\)等于特征根

\[(P_1k+P_0)a^k \]

激励为\(cos(\beta k)\)或\(\sin(\beta k)\)，如果所有的特征根都不等于\(e^{\pm j\beta}\)

\[P\cos(\beta k) + Q\sin(\beta k) \]

这个通常可以把\(y_p\)直接代入原方程求解系数。

激励为\(\delta,\varepsilon\)时。如果只有\(\varepsilon\)，则我们直接设置\(y[k]\)为常数，与连续的情况不同，差分不会使得\(y[k-1]\)等于零。解出的特解就是\(y\)的各项系数之和分之\(\varepsilon\)的系数之和（我确定这个在激励只有\(\varepsilon[k]\)的时候是成立的，如果有\(\varepsilon[k-1]\)等东西成不成立我不确定，没找到网上和教材中讨论这个）。如果只有\(\delta\)，则实际上是在求冲激响应，由后面可得，就是在求齐次解形式的解，不存在特解。如果两个都有，只管\(\varepsilon\)（这是我的猜测，没找到教材讨论这个，我们或许还可以考虑\(\delta[k]=\varepsilon[k]-\varepsilon[k-1]\)）。

注意，如果题目给的条件是\(y[k],y[k-1]\)等条件，我们需要在全解中去求齐次解中设的参数。如果题目给的条件是\(y_{zi}[k],y_{zi}[k-1]\)等条件，我们在齐次解中求参数即可。

零输入响应

同前

零状态响应

同前

差分方程求单位脉冲响应

例如\(y[k]-4y[k-1]+3y[k-2]=3f[k]-f[k-1]\)，我么可以首先

\[h[k]-4h[k-1]+3h[k-2]=3\delta[k]-\delta[k-1] \]

由隐含条件（二阶下），\(h[-1]=h[-2]=0\)，又由上式，我们可以求出\(h[0],h[1]\)。再对上式用传统方法求出齐次解。

由于代入求解参数时代入的是\(h[0],h[1]\)，对于\(k=1,k=0\)时方程也成立（实际上单位脉冲响应和零输入响应、齐次解具有同样的形式，不需要特解），所以单位脉冲响应就是\(h[k] = [-1+4(3)^k]\varepsilon[k]\)

当然，如果等式右边出现的是\(f[k-2]+f[k-1]\)这样的，我们就要求出\(h[2],h[1]\)，然后用这个代入求解齐次解的参数。

或者我们还是用老办法，求出\(h_1[k]-4h_1[k-1]+3h_1[k-2]=\delta[k]\)，中\(h_1[k]\)的表达式（需要用\(h[0],h[-1]\)求出参数），然后在根据线性性质求出\(h[k]\)

差分方程求单位阶跃响应

阶跃响应和差分方程的全解是一个形式。我们求出全解即可。注意隐含条件（二阶下）是\(g[-1]=g[-2]=0\)，我们可以求出\(g[0],g[1]\)，代入求出参数。

或者由差分特性

\[g[k] = \sum^k_{i=-\infty}h[i] \]

同理有

\[h[k] = g[k] - g[k-1] \]

用方框图描述LTI

不做细致介绍（主要是我懒，但这玩意其实很浅显，做一两题就会列表达式了，会不会解题另说），注意级联的时候\(h(t)\)之间用卷积，\(H(jw)\)用乘号即可。有时会用上设中间变量的方法。

奇异函数

对于连续情况

\[x(t) = x(t) * \delta(t) \]

\[x'(t) = x(t)*\delta '(t) \]

\[x''(t) = x(t) * \delta ''(t) = x(t) * \delta '(t) * \delta '(t) \]

以此类推。而

\[x(t) * u(t) = \int^t_{-\infty}x(\tau)d\tau \]

也可以以此类推。

其中\(u(t)*u(t) = tu(t)\)称为单位斜坡函数。

此外还有

\[f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t) \]

\[\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)\delta(t)dt=f(0) \]

\[f(t)\delta(t-a) = f(a)\delta(t-a) \]

\[\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)\delta(t-a)dt = f(a) \]

\[f(t)\delta'(t) = f(0)\delta'(t)-f'(0)\delta(t) \]

\[\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)\delta'(t)dt = -f'(0) \]

\[\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)\delta'(t-a)dt = -f'(a) \]

\[\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)\delta^{(n)}(t)dt = (-1)^nf^{(n)}(0) \]

\[\delta(at) = \dfrac{1}{|a|}\delta(t) \]

\[\delta^{(n)}(at) = \dfrac{1}{|a|}\dfrac{1}{a^n}\delta^{(n)}(t) \]

\[\delta^{(n)}(-t)=(-1)^n\delta^{(n)}(t) \]

对于离散情况

\[f[k]*\delta[k] = f[k] \]

\[f[k]*\delta[k-k_0] = f[k-k_0] \]

\[f[k]*\varepsilon[k] = \sum^k_{i=-\infty}f[i] \]

此外还有

\[f[k]\delta[k] = f[0]\delta[k] \]

\[f[k]\delta[k-k_0] = f[k_0]\delta[k-k_0] \]

\[\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\delta[k] = 1 \]

\[\sum^{+\infty}_{k=-\infty}f[k]\delta[k] = f[0] \]

\[\sum^{+\infty}_{k=-\infty}f[k]\delta[k-k_0] = f[k_0] \]

\[\sum^{k}_{i=-\infty}\delta[i] = \varepsilon[k] \]

\[\delta[k] = \varepsilon[k]-\varepsilon[k-1] \]

\[\delta[k] = \delta[-k] \]

周期信号的傅里叶级数表示

信号的正交分解

LTI对复指数信号的响应

LTI对复指数信号的响应也是一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化

\[e^{st}\rightarrow H(s)e^{st} \]

\[z^n = H(z)z^n \]

上面\(s,z\)是复数，我们更多讨论\(s=jw,z=e^{jw}\)的情况。

其中\(H\)是一个复振幅因子。

一个信号，如果系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，那么这个信号就是这个系统的特征函数，幅度因子称为特征值。

如果将输入信号表示为傅立叶级数

\[x(t) = \sum_ka_ke^{s_kt} \]

则响应一定是

\[y(t) = \sum_k a_kH(s_k)e^{s_kt} \]

离散情况下

\[x[n] = \sum_ka_kz^n_k \]

\[y[n] = \sum_k a_kH(z_k)z^n_k \]

连续时间周期信号的傅里叶级数表示

\[x(t) = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}a_ke^{jkw_0t} = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}a_ke^{jk(2\pi/T)t} \]

\(k=0\)的一项是一个常数，\(k=\pm 1\)的两项合称为基波分量，也称为一次谐波分量，之后类推。

也可以写作

\[x(t) = a_0 + 2\sum^\infty_{k=1}[B_k\cos kw_0 t - C_k\sin kw_0t] \]

或者

\[x(t) = \dfrac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}a_n\cos(n\Omega t)+\sum^\infty_{n=1}b_n\sin(n\Omega t) = \dfrac{A_0}{2} + \sum^\infty_{n=1}A_n\cos(n\Omega t+\varphi_n) \]

其中（指数表示的那个）\(a_n\)由以下公式确定

\[a_n = \dfrac{1}{T}\int^T_0x(t)e^{-jnw_0t}dt \]

或者也可以是在任意一个最小正周期内的积分，记作\(\int_T\)

\(a_n\)称为傅里叶级数系数或频谱系数，\(a_0\)为直流或常数分量。

傅立叶级数的收敛

条件1

在任何周期内，\(x(t)\)必须绝对可积，即

\[\int_T|x(t)|dt<\infty \]

这也保证了平方可积，也就保证了能量有限，每一个系数有限。

条件2

在任意有限区间内，\(x(t)\)具有有限个起伏变化。也就是说，在任何单个周期内，\(x(t)\)的最大值和最小值的数目有限。

条件3

在\(x(t)\)的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数是有限值。

在这些不连续点上，傅里叶级数收敛到不连续点处的平均值。

连续时间傅里叶级数的性质

首先设\(x(t),y(t)\)的周期都为\(T\)，傅立叶系数为\(a_k,b_k\)

线性

\[Ax(t)+By(t)\leftrightarrow Aa_k+Bb_k \]

时移

\[x(t-t_0) \leftrightarrow a_ke^{-jkw_0t_0} = a_ke^{-jk(2\pi/T)t_0} \]

频移

\[e^{jMw_0t}x(t) = e^{jM(2\pi/T)t}x(t) \leftrightarrow a_{k-M} \]

共轭

\[x^*(t) = a^*_{-k} \]

时间反转

\[x(-t) = a_{-k} \]

时域尺度变换

\[x(\alpha t),\alpha >0(周期为T/\alpha) \leftrightarrow a_k \]

周期卷积

\[\int_Tx(\tau)y(t-\tau)d\tau\leftrightarrow Ta_kb_k \]

相乘

\[x(t)y(t) \leftrightarrow a_k*b_k \]

微分

\[\dfrac{dx(t)}{dt} \leftrightarrow jkw_0a_k=jk\dfrac{2\pi}{T}a_k \]

积分

\[\int^t_{-\infty} x(t)dt \leftrightarrow \dfrac{1}{jkw_0}a_k = \dfrac{1}{jk(2\pi/T)}a_k \]

周期信号的帕塞瓦尔定理

\[\dfrac{1}{T}\int_T|x(t)|^2 dt = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}|a_k|^2 \]

谐波特性

偶函数

如果\(x(t)\)是偶函数，则其没有正弦分量，只有余弦分量和直流分量。

奇函数

如果\(x(t)\)是奇函数，则其没有余弦分量和直流分量，只有正弦分量。

奇谐函数

傅里叶级数中只含有奇次谐波分量，不含有偶次谐波分量，即

\[a_0=a_2=a_4=\cdots=b_2=b_4=\cdots=0 \]

表现为\(x(t) = -x(t\pm T/2)\)

偶谐函数

傅里叶级数中只含有偶次谐波分量，不含有奇次谐波分量，即

\[a_1=a_3=\cdots=b_1=b_3=\cdots=0 \]

表现为\(x(t) = x(t\pm T/2)\)

离散时间周期信号的傅里叶级数表示

离散时间周期信号的傅里叶级数是有限项级数，而连续情况下是无穷级数。所以离散情况下不存在收敛的问题。

离散情况下，周期N满足

\[x[n] = x[n+N] \]

其中最小的正整数\(N\)对应的角频率称为基波频率。

\(x[n]\)的傅里叶级数表示为

\[x[n] = \sum_k a_ke^{jkw_0n} = \sum_ka_ke^{jk(2\pi/N)n} \]

其中这个求和是，k在任意连续\(N\)个数中都成立的。所以也可以记作

\[x[n] = \sum_{k= < N > }a_ke^{jkw_0n} \]

\(a_k\)由以下公式确定

\[a_k = \dfrac{1}{N}\sum_{n= < N > }x[n]e^{-jkw_0n} = \dfrac{1}{N}\sum_{n= < N > }x[n]e^{-jk(2\pi/N)n} \]

离散时间傅里叶级数的性质

整体和连续的情况差别不大。

首先设\(x[n],y[n]\)的周期都为\(N\)，傅立叶系数为\(a_k,b_k\)，系数是周期的，周期也为\(N\)

线性

\[Ax[n]+By[n]\leftrightarrow Aa_k+Bb_k \]

时移

\[x[n-n_0] \leftrightarrow a_ke^{-jk(2\pi/N)n_0} \]

频移

\[e^{jM(2\pi/N)n}x[n]\leftrightarrow a_{k-M} \]

共轭

\[x^*[n] = a^*_{-k} \]

时间反转

\[x[-n] = a_{-k} \]

时域尺度变换

\[x_{(m)}[n] = \begin{cases} x[n/m] & n是m的倍数\\ 0 & n不是m的倍数 \end{cases} \leftrightarrow \dfrac{1}{m}a_k,周期为mN \]

周期卷积

\[\sum_{r= < N > }x[r]y[n-r]\leftrightarrow Na_kb_k \]

相乘

\[x[n]y[n] \leftrightarrow \sum_{l= < N > }a_l b_{k-l} \]

差分

\[x[n]-x[n-1] \leftrightarrow (1-e^{-jk(2\pi/N)})a_k \]

求和

\[\sum^n_{k=-\infty}x[n](仅当a_0=0才为有限的且为周期的)\leftrightarrow \bigg(\dfrac{1}{1-e^{-jk(2\pi/N)}}\bigg)a_k \]

周期信号的帕塞瓦尔定理

\[\dfrac{1}{N}\sum_{n= < N > }|x[n]|^2 = \sum_{k= < N > }|a_k|^2 \]

傅里叶级数与LTI

若\(x(t)=e^{st}\)是一个连续时间线性时不变系统的输入，其输出就为\(y(t)=H(s)e^{st}\)，而

\[H(s) = \int^{+\infty}_{-\infty} h(\tau)e^{-s\tau}d\tau \]

其中\(h(\tau)\)是该线性时不变系统的单位冲激响应（这其实是\(h(t)\)的傅立叶变换）。

同理离散情况下\(x[n]=z^n\)，\(y[n]=H(z)z^n\)

\[H(z) = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}h[k]z^{-k} \]

当\(s,z\)是一般复数时，\(H(s),H(z)\)就称为该系统的系统函数。一般我们考虑\(s=jw,z=e^{jw}\)，此时\(H(s),H(z)\)称为频率响应。

此时我们可以说

若用傅里叶级数表示输入

\[x(t) = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}a_ke^{jkw_0t} \]

则输出为

\[y(t) = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}a_kH(jkw_0)e^{jkw_0t} \]

此时\(y(t)\)也是周期的，并且与\(x(t)\)有相同的基波频率。若\(a_k\)是\(x(t)\)的傅立叶系数，那么\(a_kH(jkw_0)\)就是\(y(t)\)的傅里叶系数。

离散情况下，若用傅里叶级数表示输入

\[x[n] = \sum_{k= < N > } a_ke^{jk(2\pi/N)n} \]

那么输出为

\[y[n] = \sum_{k= < N > } a_kH(e^{j2\pi k/N})e^{jk(2\pi/N)n} \]

\(y[n]\)也是周期的，且和\(x[n]\)具有相同的周期，\(y[n]\)的第\(k\)个傅里叶系数就是\(a_kH(e^{j2\pi k/N})\)

周期信号的频谱

分为单边谱和双边谱。

单边谱是对于三角函数形式展开的，

\[x(t) = \dfrac{A_0}{2} + \sum^\infty_{n=1}A_n\cos(n\Omega t+\varphi_n) \]

频谱分为两个函数图像，即\(A_n\sim\omega\)的幅度谱和\(\varphi_n\sim\omega\)的相位谱（\(\omega=n\Omega,n=0,1,2,\cdots\)）

双边谱是对于指数形式展开的，

\[x(t) = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}a_ke^{jkw_0t} \]

频谱分为两个函数图像，即\(|a_k|\sim\omega\)的幅度谱和\(\varphi_k\sim\omega\)的相位谱（\(\omega=k\omega_0,\varphi_k=k\omega_0 t,k=0,\pm1,\pm2,\cdots\)）

滤波

按我的理解，简单来说，就是弄一个系统，使得它的频率响应\(H(jw)\)弄成你想要滤波的效果。

比如，你想要弄一个理想低通滤波器，那么你就设计一个系统，使得其

\[H(jw) = \begin{cases} 1 & \text{ if } |w|\leq w_c \\ 0 & \text{ if } |w| >w_c \end{cases} \]

这样输出\(y(t)=H(jw)x(t)\)，就只会保留\(x(t)\)中频率在\([-w_c,w_c]\)之间的部分。

连续时间傅里叶变换

非周期信号的表示

可以把非周期信号当成一个周期信号在周期任意大时的极限。

设\(\tilde x(t)\)是一个周期信号，而\(x(t)\)是这个周期信号的其中一个周期，其他部分全为\(0\)，那么（方便起见取周期\([-T/2,T/2]\)）

\[a_k = \dfrac{1}{T}\int^{T/2}_{-T/2}x(t)e^{-jkw_0t}dt = \dfrac{1}{T}\int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-jkw_0t}dt \]

定义\(Ta_k\)的包络\(X(jw)\)为

\[X(jw) = \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-jwt}dt \]

则

\[a_k= \dfrac{1}{T}X(jkw_0) \]

然后我们就可以用上式去表示\(\tilde{x}(t)\)，当周期无限大时，表示\(x(t)\)如下

\[x(t) = \dfrac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}X(jw)e^{jwt}dw \]

\[X(jw) = \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-jwt}dt \]

这两个式子称为傅立叶变换对。\(X(jw)\)称为\(x(t)\)的傅里叶变换，也称为\(x(t)\)的频谱。

傅立叶变换的收敛

和之前一样

\(\int^{+\infty}_{-\infty}|x(t)|dt<\infty\)
任何有限区间内，\(x(t)\)只有有限个最大值和最小值
任何有限区间内，\(x(t)\)有有限个不连续点，并且在每个不连续点处都必须是有限值。

但有些函数其实不满足，也可以收敛，有傅里叶变换，比如阶跃函数。

周期信号的傅立叶变换

\[x(t) = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}a_ke^{jkw_0t} \]

\[X(jw) = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}2\pi a_k\delta(w-kw_0) \]

连续时间傅里叶变换的性质

设非周期信号\(x(t),y(t)\)，傅立叶变换分别为\(X(jw),Y(jw)\)

线性

\[ax(t)+by(t)\leftrightarrow aX(jw)+bY(jw) \]

时移

\[x(t-t_0)\leftrightarrow e^{-jwt_0}X(jw) \]

频移

\[e^{jw_0t}x(t)\leftrightarrow X(j(w-w_0)) \]

共轭

\[x^*(t)\leftrightarrow X^*(-jw) \]

时间反转

\[x(-t)\leftrightarrow X(-jw) \]

如果\(x(t)\)为实函数，\(x(-t)\leftrightarrow X(-jw) = X^*(jw)\)

如果\(x(t)\)为虚函数\(jg(t)\)，\(x(-t)\leftrightarrow X(-jw) = -X^*(jw)\)

尺度变换

\[x(at)\leftrightarrow\dfrac{1}{|a|}X(\dfrac{jw}{a}) \]

卷积

\[x(t)*y(t)\leftrightarrow X(jw)Y(jw) \]

相乘

\[x(t)y(t)\leftrightarrow \dfrac{1}{2\pi} X(jw)*Y(jw) \]

时域微分

\[\dfrac{d^n}{dt^n}x(t)\leftrightarrow (jw)^nX(jw) \]

积分

\[\int^t_{-\infty}x(t)dt\leftrightarrow \dfrac{1}{jw}X(jw)+\pi X(0)\delta(w) \]

频域微分

\[tx(t)\leftrightarrow j\dfrac{d}{dw}X(jw) \]

\[(-jt)^nx(t)\leftrightarrow X^{(n)}(jw) \]

频域积分

\[\dfrac{1}{-jt}x(t)+\pi x(0)\delta(t)\leftrightarrow \int^w_{-\infty}X(jx)dx \]

非周期信号的帕塞瓦尔定理

\[\int^{+\infty}_{-\infty}|x(t)|^2dt=\dfrac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}|X(jw)|^2dw \]

对称

\[X(jt)\leftrightarrow 2\pi x(-w) \]

相关定理

前面我们介绍过相关函数，有

\[R_{12}(t) = x_1(t)*x_2(-t) \]

\[R_{21}(t) = x_2(t)*x_1(-t) \]

\[R(t) = x(t)*x(-t) \]

我们有

\[R_{12}(t)\leftrightarrow X_1(jw)X_2^*(jw) \]

\[R_{21}(t)\leftrightarrow X_2(jw)X_1^*(jw) \]

\[R(\tau)\leftrightarrow |X(jw)|^2 \]

基本傅立叶变换对

\[\sum^{+\infty}_{k=-\infty}a_k e^{jkw_0t}\leftrightarrow 2\pi\sum^{+\infty}_{k=-\infty}a_k\delta(w-kw_0) \]

\[e^{jkw_0t}\leftrightarrow 2\pi\delta(w-kw_0) \]

\[cos(w_0t)\leftrightarrow\pi[\delta(w-w_0)+\delta(w+w_0)] \]

\[sin(w_0t)\leftrightarrow \dfrac{\pi}{j}[\delta(w-w_0)-\delta(w+w_0)] \]

\[x(t)=1\leftrightarrow 2\pi\delta(w) \]

\[g_\tau(t)\leftrightarrow \tau Sa(\dfrac{w\tau}{2}) \]

\[sgn(t)\leftrightarrow \dfrac{2}{jw} \]

\[\delta(t)\leftrightarrow 1 \]

\[\delta^{(n)}\leftrightarrow(jw)^n \]

\[u(t)\leftrightarrow\dfrac{1}{jw}+\pi\delta(w) \]

\[e^{-\alpha t}\varepsilon(t)\leftrightarrow\dfrac{1}{\alpha+jw},\alpha>0 \]

\[e^{-\alpha |t|}\leftrightarrow\dfrac{2\alpha}{\alpha^2+w^2},\alpha>0 \]

其中

\(sgn(t)\)是符号函数，\(Sa(\theta)=sin\theta/\theta\)，\(g_\tau(t)\)代表门函数，即在\([-\tau/2,\tau/2]\)的范围内取\(1\)，其他范围内取\(0\)。

阶跃函数此时可以表示为\(\varepsilon(t) = \dfrac{1}{2}[1+sgn(t)]\)

线性常系数微分方程表征的系统

线性常系数微分方程有如下形式

\[\sum^N_{k=0}a_k\dfrac{d^k y(t)}{dt^k} = \sum^m_{k=0}b_k\dfrac{d^k x(t)}{dt^k} \]

我们可以像之前一样用经典方法去解输入对应的输出（零状态响应）。但是我们也可以使用频率响应来求出。

如果我们有\(x(t)=e^{jwt}\)，则系统的输入就是\(y(t)=H(jw)e^{jwt}\)。

一个事实是，\(H(jw)\leftrightarrow h(t)\)。我们之前还说过，\(y(t)=h(t)*x(t)\)，我们就可以得到\(Y(jw)=H(jw)X(jw)\)。

或者我们有

\[H(jw) = \dfrac{Y(jw)}{X(jw)} = \dfrac{\sum^M_{k=0}b_k(jw)^k}{\sum^{N}_{k=0}a_k(jw)^k} \]

其中第二个等号后面的式子可以把微分方程的两边全部取傅立叶变换，再提项得到。

有了\(H(jw)\)，我们就容易求出对于任意一个输入信号\(f(t)\)，这个系统的零状态响应。

要么我们可以\(Y(jw)=H(jw)F(jw)\)再傅立叶逆变换得到\(y(t)\)，要么\(y(t)=H(jw)f(t)\)。

\(H(jw)\)一般是复函数，记为

\[H(jw)=|H(jw)|e^{j\theta(w)} \]

其中\(|H(jw)|\)称为幅频特性或者幅频响应，是\(w\)的偶函数。

\(\theta(w)\)称为相频特性或相频响应，是\(w\)的奇函数。

当然，我们可以直接在微分方程转变为\(Y(jw)=aX(jw)\)（\(a\)是某个系数）后，直接将两边傅立叶逆变换得到\(y(t)\)而不用先得到\(H(jw)\) 。

再次提醒，傅里叶变换只能求零状态响应。想要求出零输入响应和全响应，用后面介绍的拉普拉斯变换。

傅立叶变换与电路

虽然书上没说，但我觉得电阻、电容、电感也可以有傅立叶变换的模型。但是这样就无法求初始值了，还是用拉普拉斯变换吧，见后。

帕塞瓦尔能量方程

\[E = \lim_{T\to\infty}\int^T_{-T}|f(t)|^2dt = \int^\infty_{-\infty}|f(t)|^2dt = \dfrac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}|F(jw)|^2dw \]

能量频谱

\[\mathcal{E}(w) = |F(jw)|^2 \]

根据前面的相关定理，我们可以得到

\[R(\tau)\leftrightarrow \mathcal{E}(w) \]

即能量信号的自相关函数与其能量谱是一对傅里叶变换。

频带宽度

在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。

信号频谱的距离原点最近的两个零点之间集中了信号的绝大部分能量。信号的功率集中在低频段。

一般把第一个零点作为信号的频带宽度
对于一般周期信号，将幅度下降为\(\dfrac{1}{10}|F_n|_{\text{max}}\)的频率定义为频带宽度
系统的通频带\(>\)信号的带宽，才能不失真。

无失真传输

信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。

其条件为

对于系统的\(h(t)\)，\(h(t)=K\delta(t-t_d)\)

或者对于系统的\(H(jw)=Ke^{-jwt_d}\)

功率频谱

\[P = \lim_{T\to\infty}\dfrac{1}{T}\int_T f^2(t)dt = \dfrac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}\lim_{T\to\infty}\dfrac{|F_T(jw)|^2}{T}dw \]

记

\[\mathcal{P}(w) = \lim_{T\to\infty}\dfrac{|F_T(jw)|^2}{T} \]

也可以证明

\[R(\tau)\leftrightarrow\mathcal{P}(w) \]

即功率信号的自相关函数与其功率谱是一对傅里叶变换。

物理可实现条件

一个系统要在物理上可以实现，要求

时域特性

\(h(t)=0,t<0\)，也就是要求是因果系统。响应不应出现在激励之前。

频域特性

\[\int ^{+\infty}_{-\infty} |H(jw)^2|dw<\infty\quad \text{and}\quad \int ^{+\infty}_{-\infty} \dfrac{|\ln |H(jw)||}{1+w^2}dw<\infty \]

这称为佩利-维纳准则，这是一个必要条件。

对于物理可实现系统,可以允许\(H(jw)\)特性在某些不连续的频率点上为\(0\)，但不允许在一个有限频带内为\(0\)。

佩利-维纳准则要求可实现的幅度特性其总的衰减不能过于迅速；

离散时间傅里叶变换

信号与系统的时域和频域特性

采样

冲激串采样

周期冲激串\(p(t)\)称为采样函数，周期\(T\)称为采样周期，而\(p(t)\)的基波频率\(w_s=2\pi/T\)称为，采样频率。

在时域中有

\[x_p(t) = x(t)p(t) \]

其中

\[p(t) = \sum^{+\infty}_{n=-\infty}\delta(t-nT) \]

经过计算可以得到，频域中有

\[X_p(jw) = \dfrac{1}{T}\sum^{+\infty}_{k=-\infty}X(j(w-kw_s)) \]

采样定理

设\(x(t)\)是某一个带限信号，在\(|w|>w_M\)时，\(X(jw)=0\)。如果采样频率\(w_s>2w_M\)，其中\(w_s=2\pi /T\)，那么\(x(t)\)就唯一地由其样本\(x(nT),n=0,\pm1,\pm2,\cdots\)所确定

在采样定理中，采样频率必须大于\(2w_M\)，该频率\(2w_M\)一般称为奈奎斯特速率。

已知样本值，重建\(x(t)\)的方法：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值；然后将该冲激串通过一个增益为\(T\)，截止频率\(w_c\)大于\(w_M\)而小于\(w_s-w_M\)的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是\(x(t)\)。

这个滤波器的\(h(t)\)为

\[h(t) = T_s\dfrac{w_c}{\pi}Sa(w_ct) \]

其中\(w_M< w_c< w_s-w_M\)，方便起见常取\(w_c=0.5w_s\)

此时

\[x(t) = \sum^{+\infty}_{n=-\infty}x(nT_s)Sa[\dfrac{w_s}{2}(t-nT_s)] \]

注意，你可能会奇怪式子里面的\(T_s\dfrac{w_c}{\pi}\)到哪里去了，实际上当\(w_c=0.5w_s\)时，因为\(w_s=\dfrac{2\pi}{T_s}\)，这个式子约分为\(0\)

奈奎斯特速率的运算性质

假设\(f(t)\)的最高频率为\(w_M\)

\(f(at)\)，则对应\(w_M'=|a|w_M,w_s=2w'_M\)

\(f_1(t)+f_2(t)\)，则对应\(w'_M=\max{\{w_{m1},w_{m2}\}}\)

\(f_1(t)\ast f_2(t)\)，则对应\(w'_M=\min{\{w_{m1},w_{m2}\}}\)

\(f_1(t)f_2(t)\)，则对应\(w'_M=w_{m1}+w_{m2}\)

频率采样定理

一个在时域区间\((-t_m,t_m)\)以外为\(0\)的时限信号\(f(t)\)的频谱函数，可唯一地由其在均匀频率间隔\(f_s\)上的样值点\(F(jnw_s)\)确定。要求\(f_s<1/(2t_m)\)，或者说\(w_s<2\pi/(2t_m)\)

\[F(jw) = \sum^{+\infty}_{n=-\infty} F(j\dfrac{n\pi}{t_m})Sa(wt_m-n\pi) \]

拉普拉斯变换

一个信号\(x(t)\)的拉普拉斯变换定义如下

\[X(s) = \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-st}dt \]

当然，傅立叶变换就是\(s=jw\)时的一个特例。

复变量\(s\)可以写为\(s=\sigma+jw\)，其中\(\sigma,w\)分别是它的实部和虚部。方便起见\(X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}\)，或者记作

\[x(t)\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X(t) \]

因为

\[X(\sigma+jw) = \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-(\sigma+jw)t}dt = \int^{+\infty}_{-\infty}[x(t)e^{-\sigma t}]e^{-jwt}dt \]

所以\(x(t)\)的拉普拉斯变换可以看成\(x(t)\)乘以一个实指数信号以后的傅立叶变换。

当然，正如傅立叶变换不是对所有信号都收敛，拉普拉斯变换对有些\(Re\{s\}\)收敛，而有些不收敛。

拉普拉斯变换的有理分式情况

如果拉普拉斯变换具有以下形式

\[X(s) = \dfrac{N(s)}{D(s)} \]

使得\(N(s)=0\)的\(s\)称为零点，使得\(D(s)=0\)的\(s\)称为极点。把这些点标记在复平面上。我们可以判断收敛域。极点用叉号表示，零点用圈圈表示。

也可以通过零-极点图来反过来求拉普拉斯变换，这时你需要设\(X(s)=\dfrac{KN(s)}{D(s)}\)，保留一个常系数\(K\)。然后根据题目的已知条件解出\(K\)。

拉普拉斯变换的收敛域

收敛域记作\(ROC\)

\(X(s)\)的收敛域在\(s\)平面内是由平行于\(jw\)轴的带状区域组成的。
对有理拉普拉斯变换来说，收敛域内不包括任何极点。
如果\(x(t)\)是有限持续期的，并且是绝对可积的，那么收敛域就是整个\(s\)平面。
如果\(x(t)\)是右边信号，并且\(Re\{s\}=\sigma_0\)这条线位于收敛域内，那么\(Re\{s\}>\sigma_0\)的全部\(s\)值一定在收敛域内
如果\(x(t)\)是左边信号，并且\(Re\{s\}=\sigma_0\)这条线位于收敛域内，那么\(Re\{s\}<\sigma_0\)的全部\(s\)值一定在收敛域内
如果\(x(t)\)是双边信号，并且\(Re\{s\}=\sigma_0\)这条线位于收敛域内，那么收敛域就一定由\(s\)平面的一条带状区域组成，直线\(Re\{s\}=\sigma_0\)位于该区域中。
如果\(x(t)\)的拉普拉斯变换\(X(s)\)是有理的，那么它的收敛域是被极点所界定的或延伸到无限远。另外，在收敛域内不包含任何极点。
如果\(x(t)\)的拉普拉斯变换\(X(s)\)是有理的，若\(x(t)\)是右边信号，那么收敛域在\(s\)平面上位于最右边极点的右边；若\(x(t)\)是左边信号，那么收敛域在\(s\)平面上位于最左边极点的左边

拉普拉斯逆变换

\[x(t) = \dfrac{1}{2\pi j}\int^{\sigma+j\infty}_{\sigma-j\infty}X(s)e^{st}dt \]

显然不太可能用这玩意去算，大部分时候我们都用后面的常用变换对来算。

如果\(X(s)\)是一个有理分式，则我们要做的就是将他拆开，为此我们可以使用待定系数法。

例如

\[X(s) = \dfrac{1}{x^2(x-1)} \]

我们就要拆成

\[X(s)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x-1} \]

然后根据系数关系求得待定系数的值。注意，这里\(x^{-2}\)要拆成两项，一项是\(x^{-1}\)，一项是\(x^{-2}\)，其他情况以此类推。

（双边）拉普拉斯变换的性质

假设\(x_1(t)\leftrightarrow X_1(s),ROC=R_1\)和\(x_2(t)\leftrightarrow X_2(s),ROC=R_2\)

线性

\[ax_1(t)+bx_2(t)\leftrightarrow aX_1(s)+bX_2(s), ROC至少是R_1\cap R_2 \]

时移

\[x(t-t_0)\leftrightarrow e^{-st_0}X(s), ROC=R \]

\(s\)域平移

\[e^{s_0t}x(t)\leftrightarrow X(s-s_0),ROC=R的平移 \]

时域尺度变换

\[x(at)\leftrightarrow \dfrac{1}{|a|}X(\dfrac{s}{a}),ROC=R/a \]

共轭

\[x^*(t) \leftrightarrow X^*(s^*), ROC=R \]

卷积

\[x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(s)X_2(s), ROC至少是R_1\cap R_2 \]

乘积

\[x_1(t)x_2(t)\leftrightarrow \dfrac{1}{2\pi j}\int^{c+j\infty}_{c-j\infty}X_1(\eta)X_2(s-\eta)d\eta \]

设\(R_1\)为\(Re\{s\}>\sigma_1\)，\(R_2\)为\(Re\{s\}>\sigma_2\)，则\(R\)为\(Re\{s\} > \sigma_1+\sigma_2,\sigma_1 < c < Re\{s\}-\sigma_2\)

这里\(c\)是\(X_1(\eta)\)与\(X_2(\eta)\)收敛域重叠部分内与虚轴平行的直线。这里对积分路线的限制较严，积分计算也比较复杂，所以很少用该定理。

时域微分

\[\dfrac{d}{dt}x(t)\leftrightarrow sX(s), ROC至少是R \]

\(s\)域微分

\[-tx(t)\leftrightarrow \dfrac{d}{ds}X(s), R \]

\[(-t)^nx(t)\leftrightarrow \dfrac{d^n}{ds^n}X(s), R \]

\(s\)域积分

\[\dfrac{x(t)}{t}\leftrightarrow \int^{+\infty}_{s}X(\eta)d\eta \]

时域积分

\[\int^t_{-\infty}x(\tau)d\tau\leftrightarrow\dfrac{1}{s}X(s), ROC至少是R\cap\{Re{s}>0\} \]

初值定理和终值定理

若\(t<0\)时\(x(t)=0\)且在\(t=0\)不包括任何冲激或高阶奇异函数，则

\[x(0^+)=\lim_{s\to\infty} sX(s) \]

\[\lim_{t\to\infty}x(t) = \lim_{s\to 0}sX(s) \]

常用拉普拉斯变换对

\[\delta(t)\leftrightarrow 1, s\in C \]

\[\varepsilon(t)\leftrightarrow\dfrac{1}{s},Re\{s\}>0 \]

\[-\varepsilon(-t)\leftrightarrow \dfrac{1}{s},Re\{s\}<0 \]

\[\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}\varepsilon(t)\leftrightarrow\dfrac{1}{s^n},Re\{s\}>0 \]

\[-\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}\varepsilon(-t)\leftrightarrow\dfrac{1}{s^n},Re\{s\}<0 \]

\[e^{-at}\varepsilon(t)\leftrightarrow\dfrac{1}{s+a},Re\{s\}>-a \]

\[-e^{-at}\varepsilon(-t)\leftrightarrow\dfrac{1}{s+a},Re\{s\}<-a \]

\[\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}\varepsilon(t)\leftrightarrow\dfrac{1}{(s+a)^n},Re\{s\}>-a \]

\[-\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}\varepsilon(-t)\leftrightarrow\dfrac{1}{(s+a)^n},Re\{s\}<-a \]

\[\delta(t-T)\leftrightarrow e^{-sT}, s\in C \]

\[\cos(w_0t)\varepsilon(t)\leftrightarrow \dfrac{s}{s^2+w_0^2}, Re\{s\}>0 \]

\[\sin(w_0t)\varepsilon(t)\leftrightarrow \dfrac{w_0}{s^2+w_0^2}, Re\{s\}>0 \]

\[e^{-at}\cos(w_0t)\varepsilon(t)\leftrightarrow \dfrac{s+a}{(s+a)^2+w_0^2}, Re\{s\}>-a \]

\[e^{-at}\sin(w_0t)\varepsilon(t)\leftrightarrow \dfrac{w_0}{(s+a)^2+w_0^2}, Re\{s\}>-a \]

\[\dfrac{d^n}{dt^n}\delta(t)\leftrightarrow s^n, s\in C \]

\[t\varepsilon(t)\leftrightarrow \dfrac{1}{s^2}, Re\{s\}>0 \]

\[t^n\varepsilon(t)\leftrightarrow \dfrac{n!}{s^{n+1}}, Re\{s\}>0 \]

\[\varepsilon(t)*\cdots*\varepsilon(t)\leftrightarrow\dfrac{1}{s^n}, Re\{s\}>0 \]

周期函数

设\(f(t)\)是周期为\(T\)的周期函数，则其一个周期的拉普拉斯变换为

\[f_T(t)\leftrightarrow \dfrac{F(s)}{1-e^{-sT}} \]

用拉普拉斯变换分析与表征线性时不变系统

一个线性时不变系统的输入和输出的拉普拉斯变换由该系统的单位冲激响应的拉普拉斯变换联系起来，和傅里叶变换一样

\[Y(s) = H(s)X(s) \]

若一个线性是不变系统的输入是\(x(t)=e^{st}\)，则输出一定是。\(H(s)e^{st}\)，即\(e^{st}\)是系统的一个特征函数，其特征值就等于单位冲激响应的拉普拉斯变换。

在拉普拉斯变换的范畴内，称\(H(s)\)为系统函数或传递函数。\(s=jw\)时\(H(s)\)称为系统的频率响应。

因果性

一个因果系统的系统函数的收敛域是某个右半平面。

对于一个具有有理系统函数的系统来说，系统的因果性就等效于收敛域位于最右边极点的右边的右半平面。

反因果信号则为左半平面。

稳定性

当且仅当系统函数\(H(s)\)的收敛域包括\(jw\)轴时，一个线性时不变系统是稳定的。

当且仅当\(H(s)\)的全部极点都位于\(s\)平面的左半平面时，一个具有有理\(H(s)\)的因果系统才是稳定的。

反因果系统需要极点都在右半平面。

由线性常系数微分方程表征的线性时不变系统

和用傅立叶变换求解微分方程一样，我们这里换成了两边求拉普拉斯变换。

注意，如果有初始值，那么需要用后面的单边拉普拉斯变换中的微分和积分性质。不能用之前的双边性质。

微分方程为

\[\sum^N_{k=0}a_k\dfrac{d^k y(t)}{dt^k}= \sum^M_{k=0}b_k\dfrac{d^k x(t)}{dt^k} \]

两边同时应用拉普拉斯变换（初始值为零，即零输入响应为零，假设在\(t=0\)时接入\(x(t)\)），得

\[\bigg(\sum^N_{k=0}a_ks^k\bigg)Y(s)= \bigg(\sum^M_{k=0}b_ks^k\bigg)X(s) \]

如果初始值不为零，则全响应为

\[\bigg(\sum^N_{k=0}a_ks^k\bigg)Y(s)-\sum^N_{k=0}a_k\bigg[\sum^{k-1}_{p=0}s^{k-1-p}y^{(p)}(0^-)\bigg]= \bigg(\sum^M_{k=0}b_ks^k\bigg)X(s) \]

之后我们可以算出

\[H(s) = \dfrac{Y(s)}{X(s)} \]

注意冲激响应是冲激函数的零状态响应。

然后我们就可以用\(H(s)\)去求任意输入的零状态响应，\(Y(s)=H(s)X(s)\)，再拉普拉斯逆变换换到\(s\)域上。

或者，我们不求\(H(s)\)。

\[Y_{zs}(s) = \bigg(\sum^M_{k=0}b_ks^k\bigg)X(s)\bigg/\bigg(\sum^N_{k=0}a_ks^k\bigg) \]

如果有零输入响应，那么

\[Y_{zi} = \sum^N_{k=0}a_k\bigg[\sum^{k-1}_{p=0}s^{k-1-p}y^{(p)}(0^-)\bigg]\bigg/\bigg(\sum^N_{k=0}a_ks^k\bigg) \]

全响应就是两个相加，之后要求\(s\)域上的则逆变换即可。

相比之下，傅立叶变换只能求零状态而不能求零输入。

系统的\(s\)域框图

不做细致介绍。

电路的\(s\)域模型

电阻

\[u(t) = Ri(t)\leftrightarrow U(s) = RI(s) \]

变换后仍然是电阻。

电感

\[u(t) = L\dfrac{di(t)}{dt}\leftrightarrow U(s) = sLI(s)-Li(0^-) \]

变换后变成了一个大小为\(sL\)的电阻，和一个电压大小为\(Li(0^-)\)的电压源，方向：\(i\)从电压源的负极流进，正极流出。也可以等效为电流源。

电容

\[i(t) = C\dfrac{du(t)}{dt}\leftrightarrow U(s)=\dfrac{1}{sC}I(s)+\dfrac{u(0^-)}{s} \]

变换后变成了一个大小为\(1/(sC)\)的电阻，和一个电压大小为\(u(0^-)/s\)的电压源，方向：\(i\)从电压源的正极流进，负极流出。也可以等效为电流源。

电源

\[u_s(t),i_s(t)\leftrightarrow U_s(s),I_s(s) \]

KCL和KVL

节点

\[\sum_k i_k(t) = 0\leftrightarrow\sum_k I_k(s)=0 \]

回路

\[\sum_k u_k(t) = 0\leftrightarrow\sum_k U_k(s)=0 \]

用了这些变换后，得到的新电路，就可以只用算电阻，不用算难算的电容和电感关系，解出来所需要的量之后，再逆变换得到\(t\)上的式子即可。

单边拉普拉斯变换及其性质

一个连续时间信号\(x(t)\)的单边拉普拉斯变换\(X(s)\)定义为

\[X(s)=\int^\infty_{0^-}x(t) e^{-st}dt \]

积分下限取\(0^-\)，来表示积分区间内包括了集中于\(t=0\)的任何冲激或高阶奇异函数。

\[x(t)\overset{\mathcal{UL}}{\longleftrightarrow}X(s) = \mathcal{UL}\{x(t)\} \]

如果两个信号在\(t<0\)时不同，而在\(t\geq0\)时相同，则具有不同的双边变换，相同的单边变换。任何在\(t<0\)时都为零的信号，双边和单边变换相同。

单边变换就是将信号在\(t<0\)时将它置零而求得的双边变换。

性质

不列出收敛域，任何单边拉普拉斯变换的收敛域总是某右半平面。

线性，\(s\)域平移，时域尺度变换，\(s\)域微分，初值终值定理

和双边的一样。

时移

和双边的不同，这里没有这个性质。

共轭

\[x^*(t)\leftrightarrow X^*(s) \]

与双边不同的是\(s\)没有取共轭（其实我有点怀疑是否是书的错误，因为后面的\(z\)变换又是单边双边相同的，有点出乎我的意料。但是我不知道是这个错了还是那个错了）

卷积

特别要求\(t<0\)时，\(x_1(t),x_2(t)\)都为零。

时域微分

\[x'(t)\leftrightarrow sX(s)-x(0^-) \]

\[x''(t)\leftrightarrow s^2X(s)-sx(0^-)-x'(0^-) \]

\[x^{(n)}(t)\leftrightarrow s^nX(s)-\sum^{n-1}_{m=0}s^{n-1-m}x^{(m)}(0^-) \]

并且特别给出，当\(x(t)\)是因果信号时，\(x^{(n)}(t)\leftrightarrow s^nX(s)\)。

时域积分

初始条件为零（松弛）时

\[\bigg(\int^t_{0^-}\bigg)^nx(\tau)d\tau\leftrightarrow \dfrac{1}{s^n}X(s) \]

在初始条件不是松弛的情况下，以下公式对于求微分方程的解非常好用。

\[x^{(-1)}(t)=\int^t_{-\infty}x(\tau)d\tau \leftrightarrow s^{-1}X(s) +s^{-1}x^{(-1)}(0^-) \]

\(z\)变换

一个离散时间信号\(x[n]\)的\(z\)变换定义为

\[X(z) = \sum^{+\infty}_{n=-\infty} x[n]z^{-n} \]

其中\(z\)是一个复变量。我们也记作

\[x[n]\overset{z}{\longleftrightarrow}X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\} \]

当然，离散傅里叶变换就是\(z=e^{jw}\)时的一个特例。我们现在将\(z\)表示为\(z=re^{jw}\)，用\(r\)表示\(z\)的模，用\(w\)表示它的相角。于是就可以把\(X(re^{jw})\)看成序列\(x[n]\)乘以实指数\(r^{-n}\)后的傅里叶变换，即

\[X(re^{jw}) = \mathcal{F}\{x[n]r^{-n}\} \]

类似于在虚轴\(jw\)上的拉普拉斯变换就是傅里叶变换，在复平面的单位圆上进行的\(z\)变换，就是傅里叶变换。

\(z\)变换的有理分式情况

和拉普拉斯变换一样。同时也有极点和零点的概念。记住，求零点极点时，分子分母的\(z\)不要出现负幂项，全部转成正幂项再来求。

\(z\)变换的收敛域

收敛域记作\(ROC\)

\(X(z)\)的收敛域是在\(z\)平面内以原点为中心的圆环
收敛域内不包括任何极点
如果\(x[n]\)是有限长序列，那么收敛域就是整个\(z\)平面，可能除去\(z=0\)和/或\(z=\infty\)
如果\(x[n]\)是一个右边序列，并且\(|z|=r_0\)的圆位于收敛域内，那么\(|z|>r_0\)的全部有限\(z\)值都一定在这个收敛域内
如果\(x[n]\)是一个左边序列，而且\(|z|=r_0\)的圆位于收敛域内，那么满足\(0<|z|< r_0\)的全部\(z\)值都一定在这个收敛域内
如果\(x[n]\)是一个双边序列，而且\(|z|=r_0\)的圆位于收敛域内，那么该收敛域在\(z\)域中一定是包含\(|z|=r_0\)这一圆环的环状区域
如果\(x[n]\)的\(z\)变换\(X(z)\)是有理的，它的收敛域就被极点所界定，或延伸至无限远
如果\(x[n]\)的\(z\)变换\(X(z)\)是有理的，并且\(x[n]\)是右边序列，那么收敛域就位于\(z\)平面内最外层的极点的外边，也就是半径等于\(X(z)\)极点中最大模值的圆的外边。而且，若\(x[n]\)是因果序列，即\(x[n]\)为\(n<0\)时等于零的右边序列，那么收敛域也包括\(z=\infty\)
如果\(x[n]\)的\(z\)变换\(X(z)\)是有理的，并且\(x[n]\)是左边序列，那么收敛域就位于\(z\)平面内最外层的极点的里边，也就是半径等于\(X(z)\)中除去\(z=0\)的极点中最小模值的圆的里边，并且向内延伸到可能包括\(z=0\)。特别是，若\(x[n]\)是反因果序列，即\(x[n]\)为\(n>0\)时等于零的左边序列，那么收敛域也包括\(z=0\)

\(z\)逆变换

\[x[n] = \dfrac{1}{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz \]

和拉普拉斯逆变换一样，很难直接用这个东西去算。遇上有理分式就待定系数法拆开，遇上其他函数就分开来看，然后套用常用\(z\)变换表和其性质来算。

当然，你可能会发现拆出来的项是\(\dfrac{1}{z-1}\)这种形式的，然后就会发现变换表里的不是\(z\)而是\(z^{-1}\)。这种情况应该对\(\dfrac{X(z)}{z}\)进行因式分解，得到结果后两边同乘\(z\)，然后再转换一下就可以使用变换表了。

（双边）\(z\)变换的性质

假设\(x_1[n]\leftrightarrow X_1(z),ROC=R_1\)和\(x_2[n]\leftrightarrow X_2(z),ROC=R_2\)

线性

\[ax_1[n]+bx_2[n]\leftrightarrow aX_1(z)+bX_2(z) \]

时移

\[x[n-n_0]\leftrightarrow z^{-n_0}X(z), ROC=R \]

\(z\)域尺度变换

\[e^{jw_0n}x[n]\leftrightarrow X(e^{-jw_0}z),ROC=R \]

\[z_0^nx[n]\leftrightarrow X(\dfrac{z}{z_0}),ROC=z_0R \]

\[a^nx[n]\leftrightarrow X(a^{-1}z),ROC=R的尺度变换 \]

时间翻转

\[x[-n]\leftrightarrow X(z^{-1}),ROC=R^{-1} \]

时间扩展

\[x_{(k)}[n] = \left\{\begin{matrix} x[r], & n=rk\\ 0, & n\neq rk \end{matrix}\right.\leftrightarrow X(z^k),ROC = R^{1/k} \]

共轭

\[x^*[n] \leftrightarrow X^*[z^*], ROC=R \]

卷积

\[x_1[n]*x_2[n]\leftrightarrow X_1(z)X_2(z), ROC至少是R_1\cap R_2 \]

一次差分

\[x[n]-x[n-1]\leftrightarrow (1-z^{-1})X(z),ROC至少是R\cap|z|>0 \]

累加

\[\sum^n_{k=-\infty}x[k]\leftrightarrow \dfrac{1}{1-z^{-1}}X(z),ROC至少是R\cap|z|>1 \]

\(z\)域微分

\[nx[n]\leftrightarrow -z\dfrac{d}{dz}X(z), ROC=R \]

\(z\)域积分

\[\dfrac{x[n]}{n+m}\leftrightarrow z^m\int^{\infty}_{z}\dfrac{X(\eta)}{\eta^{m+1}}d\eta,ROC=R \]

初值定理和终值定理

若\(n<0\)时,\(x[n]=0\)则

\[x[0]=\lim_{z\to\infty} X(z) \]

若\(n时,\(x[n]=0\)则

\[x[M]=\lim_{z\to\infty} z^MX(z) \]

\[\lim_{n\to\infty}x[n] = \lim_{z\to 1}\dfrac{z-1}{z}X(z)或者\lim_{z\to 1}(z-1)X(z) \]

常用\(z\)变换对

\[\delta[n]\leftrightarrow 1, z\in C \]

\[u[n] = \dfrac{1}{1-z^{-1}}, |z|>1 \]

\[-u[-n-1] \leftrightarrow \dfrac{1}{1-z^{-1}}, |z|<1 \]

\[\delta[n-m]\leftrightarrow z^{-m},z\in C,z\neq0(if\ \ \ m>0),z\neq\infty(if\ \ \ m<0) \]

\[a^nu[n]\leftrightarrow\dfrac{1}{1-az^{-1}},|z|>|a| \]

\[-a^nu[-n-1]\leftrightarrow\dfrac{1}{1-az^{-1}},|z|<|a| \]

\[na^nu[n]\leftrightarrow\dfrac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2},|z|>|a| \]

\[-na^nu[-n-1]\leftrightarrow\dfrac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2},|z|<|a| \]

\[\cos(w_0n)u[n]\leftrightarrow\dfrac{1-(\cos w_0)z^{-1}}{1-2(\cos w_0)z^{-1}+z^{-2}},|z|>1 \]

\[\sin(w_0n)u[n]\leftrightarrow\dfrac{(\sin w_0)z^{-1}}{1-2(\cos w_0)z^{-1}+z^{-2}},|z|>1 \]

\[r^n\cos(w_0n)u[n]\leftrightarrow\dfrac{1-r(\cos w_0)z^{-1}}{1-2r(\cos w_0)z^{-1}+r^2z^{-2}},|z|>r \]

\[r^n\sin(w_0n)u[n]\leftrightarrow\dfrac{r(\sin w_0)z^{-1}}{1-2r(\cos w_0)z^{-1}+r^2z^{-2}},|z|>r \]

利用\(z\)变换分析与表征线性时不变系统

同前，\(z\)变换也有

\[Y(z)=H(z)X(z) \]

\(H(z)\)称为系统的系统函数或传递函数。如果单位圆在收敛域内，将\(H(z)\)在单位圆上求值，\(H(z)\)就变成了系统的频率响应。

因果性

一个离散时间线性时不变系统，当且仅当它的系统函数的收敛域在某个圆的外边，且包括无限远点时，该系统就是因果的。

一个具有有理系统函数\(H(z)\)的线性时不变系统是因果的当且仅当：

收敛域位于最外层极点外边某个圆的外边，并且
若\(H(z)\)表示成\(z\)的多项式之比，其分子的阶次不能高于分母的阶次。

稳定性

一个线性时不变系统，当且仅当它的系统函数\(H(z)\)的收敛域包括单位圆\(|z|=1\)时，该系统就是稳定的。

一个具有有理系统函数的因果线性时不变系统，当且仅当\(H(z)\)的全部极点都位于单位圆内时，即全部极点的模均小于\(1\)时，该系统就是稳定的。

由线性常系数差分方程表征的线性时不变系统

和拉普拉斯变换解微分方程基本一样。

差分方程的形式如下

\[\sum^{N}_{k=0}a_ky[n-k]=\sum^M_{k=0}b_kx[n-k] \]

如果没有初始值（零输入响应为零），两边进行\(z\)变换

\[\sum^{N}_{k=0}a_kz^{-k}Y(z)=\sum^M_{k=0}b_kz^{-k}X(z) \]

如果有初始值，用后面的单边\(z\)变换的性质可以求得

\[\sum^N_{k=0}a_k[z^{-k}Y(z)+\sum^{k-1}_{i=0}y[i-k]z^{-i}]=\sum^M_{k=0}b_kz^{-k}X(z) \]

之后我们可以求得

\[H(z)=Y(z)\bigg/X(z) \]

和拉普拉斯变换也是一样的，这个冲激响应是零状态响应。如果有初始值，那么另外那部分就是零状态响应。

也可以不求\(H(z)\)直接求\(Y_{zs},Y_{zi}\)，方法和拉普拉斯变换完全一致。

系统的\(z\)域框图

不做细致介绍。

\(s\)域与\(z\)域的关系

复变量\(s\)与\(z\)的关系

\[\left\{\begin{matrix} z = e^{sT}\\ s = \dfrac{1}{T}\ln z \end{matrix}\right. \]

\(z\)平面与\(s\)平面的映射关系

设\(s=\sigma+jw,z=\rho e^{j\theta}\)，有

\[\left\{\begin{matrix} \rho = e^{\sigma T}\\ \theta = wT \end{matrix}\right. \]

其中的例子如下

\(s\)平面的左半平面映射为\(z\)平面的单位圆内部
\(s\)平面的\(jw\)轴映射为\(z\)平面的单位圆
\(s\)平面的右半平面映射为\(z\)平面的单位圆外部
\(s\)平面上的实轴映射为\(z\)平面的正实轴
\(s\)平面上的原点映射为\(z\)平面上\(z=1\)的点。

单边\(z\)变换

一个序列\(x[n]\)的单边\(z\)变换\(X(z)\)定义为

\[X(z)=\sum^{+\infty}_{n=0}x[n]z^{-n} \]

\[x[n]\overset{\mathcal{UZ}}{\longleftrightarrow}X(z) = \mathcal{UZ}\{x[n]\} \]

\(x[n]\)的单边\(z\)变换可以看成\(x[n]u[n]\)的双边\(z\)变换。

性质

不列出收敛域，任何单边\(z\)变换的收敛域总是位于某个圆的外边。

线性，\(z\)域尺度变换，时间扩展，共轭（实际上我不知道这里是不是书籍的错误，到底是相同还是不同），累加，\(z\)域微分，初值终值定理

和双边的一样。

时间延迟

\[x[n-1] \leftrightarrow z^{-1}X(z)+x[-1] \]

时移

\[x[n+1] \leftrightarrow zX(z)-zx[0] \]

卷积

特别要求\(n<0\)时，\(x_1[n],x_2[n]\)都为零。

一次差分

\[x[n]-x[n-1]\leftrightarrow (1-z^{-1})X(z)-x[-1] \]

系统函数再探

零极点与冲激响应

LTI，不管是离散还是连续系统，我们前面对于系统函数\(H(\cdot)\)零点和极点讨论的已经很多了。我们现在介绍一下零点极点和冲激响应的关系。

连续情况（即拉普拉斯变换下）

零点影响\(h(t)\)的幅度、相位
极点决定\(h(t)\)的函数形式（直观的说，常用变换对都是分母上比较复杂）：

左半平面极点对应的\(h(t)\)，随时间增加，是按指数函数规律衰减的。
虚轴上一阶极点对应的\(h(t)\)是阶跃函数或正弦函数，二阶及以上极点对应\(h(t)\)是随时间增长而增大的。
右半平面极点对应\(h(t)\)都是随时间增加按指数规律增加的。

离散情况（即\(z\)变换下）

\(H(z)\)的极点在单位圆内，对应\(h(k)\)按指数衰减。
极点在单位圆上，一阶极点对应的\(h(k)\)为阶跃序列或正弦序列。二阶及以上对应\(h(k)\)增长。
极点在单位圆外，对应\(h(k)\)按指数增长。

因果性

见前。包括系统函数判断因果性和冲激响应判断因果性。

稳定性

之前的定义和判断方法在这里仍然适用，这里介绍两个另外的判断方法。

稳定系统的\(S\)域判别方法

除去之前介绍的，收敛域要包括虚轴，还有以下两个。

必要条件

设

\[H(s) = \dfrac{B(s)}{A(s)} \]

\[A(s) = a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_1s + a_0 \]

若系统稳定，则

\[a_{i} > 0, i = 0,1,2,\cdots,n \]

充分必要条件

也即罗斯-霍尔维兹准则，R-H准则。

其中第三行之后的有

判断依据是，如果罗斯阵列的第一列元素（第一行至\(n+1\)行）的符号相同，则\(H(s)\)的极点全部在左半平面，系统稳定。

其中有两个特例，当\(A(s)=s^2+\alpha s+\beta\)时，充要条件是\(\alpha>0,\beta>0\)。当\(A(s) = s^3+\alpha s^2+\beta s+\gamma\)时，充要条件是\(\alpha>0,\beta>0,\gamma>0,\alpha\beta>\gamma\)。

稳定系统的\(z\)域判别方法

除去之前介绍的，收敛域要包括单位圆，还有朱里准则。

充分必要条件（朱里准则）

设

\[H(z) = \dfrac{B(z)}{A(z)} \]

\[A(z) = a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0 \]

按以上形式排列，则系统稳定的充要条件是：

\[\left.\begin{matrix} A(1)=A(z)|_{z=1}>0 \\ (-1)^nA(-1)>0 \\ a_n>|a_0| \\ c_{n-1}>|c_0| \\ d_{n-2}>|d_0| \\ \vdots \\ r_2>|r_0| \end{matrix}\right\} \]

注意这个排列中没有\(b\)的项，不知道为什么。

作为一个特例，当\(A(z)=z^2+\alpha z+\beta\)时的充分必要条件是：\(|\alpha|<1+\beta,|\beta|<1\)

信号流图

连续情况

相关定义

用点表示信号（变量）

用有向线段表示信号方向和传输函数

支路：两点间的有向线段称为一条支路
通路：从某一节点触发，沿支路方向，连续经过节点和支路到达另一节点，所经过的路径称为通路
开路：从一节点到达另一节点，并且节点不重复的通路称为开路
环：从一节点出发，经过节点和支路又回到该节点的闭合通路称为环或回路（事实上来说应该是除了首尾节点外都不能重复，但是PPT上没讲，很奇怪）
开路传输函数：组成一条开路的所有支路传输函数的乘积称为该条开路的传输函数\(p_i\)
环传输函数：组成一个环的所有支路传输函数的乘积称为该环的环传输函数\(L_i\)

梅森公式

这个公式用于从信号流图求系统函数。

设\(F(s)=\mathcal{L}[f(t)],Y_f(s)=\mathcal{L}[y_f(t)]\)，即输入输出。则

\[H(s) = \dfrac{Y_f(s)}{F(s)}=\dfrac{\sum^m_{i=1}p_i\Delta_i}{\Delta} \]

其中\(\Delta\)为流图行列式。

\[\Delta = 1-\sum_j L_j + \sum_{m,n}L_m L_n-\sum_{p,q,r} L_p L_q L_r+\cdots \]

其中，\(\sum_j L_j\)是流图中所有环传输函数\(L_j\)之和；\(\sum_{m,n}L_m L_n\)是流图中所有两两不相接触的环传输函数乘积之和；\(\sum_{p,q,r} L_p L_q L_r\)是流图中所有三个互不接触环的环传输函数乘积之和。

\(p_i\)是由\(F(s)\)到\(Y_f(s)\)的第\(i\)条开路的传输函数。\(\Delta_i\)是除去第\(i\)条开路（指开路上的所有节点和所连边），剩余流图的流图行列式。\(m\)是从\(F(s)\)到\(Y_f(s)\)的所有开路数。

离散情况

与连续情况几乎完全一致，除了把\(s\)域上的分析变成\(z\)域上的。

由\(H(s),H(z)\)反推信号流图

这是一个非常需要技巧的魔法，多做题吧。\(s\)域和\(z\)域无非是符号上的区别。给几个例子

例1

\[H(s) = \dfrac{b_1s+b_0}{s+a_0}=\dfrac{b_1+\dfrac{b_0}{s}}{1-(-\dfrac{a_0}{s})} \]

通过梅森公式可以看出流图包含两条开路，一个环。但是显然解不是唯一的。

例2

\[H(s) = \dfrac{s+1}{(s^2+5s+6)(s+4)} = \dfrac{s+1}{(s^2+5s+6)}\cdot\dfrac{1}{s+4} = \dfrac{\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s^2}}{1-(-\dfrac{5}{s}-\dfrac{6}{s^2})}\cdot\dfrac{\dfrac{1}{s}}{1-(-\dfrac{4}{s})} \]

这是两个系统级联起来。

那么并联的形式相信不难理解，无非就是裂项成多个式子。

系统的状态变量分析

状态变量与状态方程

对于一般的\(n\)阶多输入-多输出LTI连续系统，（\(f\)有\(p\)个，\(y\)有\(q\)个）

其状态方程如下

\[\left.\begin{matrix} \dot x_1 = a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n + b_{11}f_1+b_{12}f_2+\cdots+b_{1p}f_p\\ \dot x_2 = a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n + b_{21}f_1+b_{22}f_2+\cdots+b_{2p}f_p \\ \cdots \\ \dot x_n = a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n + b_{n1}f_1+b_{n2}f_2+\cdots+b_{np}f_p \end{matrix}\right\} \]

其输出方程如下

\[\left.\begin{matrix} y_1 = c_{11}x_1+c_{12}x_2+\cdots+c_{1n}x_n + d_{11}f_1+d_{12}f_2+\cdots+d_{1p}f_p\\ y_2 = c_{21}x_1+c_{22}x_2+\cdots+c_{2n}x_n + d_{21}f_1+d_{22}f_2+\cdots+d_{2p}f_p \\ \cdots \\ y_q = c_{q1}x_1+c_{q2}x_2+\cdots+c_{qn}x_n + d_{q1}f_1+d_{q2}f_2+\cdots+d_{qp}f_p \end{matrix}\right\} \]

其中\(x_i\)为系统内部的状态变量，\(\dot x_i\)表示\(x_i\)的一阶导数，\(f_i\)为输入信号，\(y_i\)为输出信号。矩阵形式如下

\[\dot{\bm x}(t) = \bm A\bm x(t) + \bm B\bm f(t) \]

\[\bm y(t) = \bm C\bm x(t)+\bm D\bm f(t) \]

这四个矩阵，在\(LTI\)中都是常数矩阵，其中\(\bm A\)为系统矩阵，\(\bm B\)为控制矩阵，\(\bm C\)为输出矩阵。

离散的情况这些名称也相同，区别在于离散不用一阶导数，形式如下

\[\bm x[n+1] = \bm A\bm x[n] + \bm B\bm f[n] \]

\[\bm y[n] = \bm C\bm x[n]+\bm D\bm f[n] \]

实际上用了一个前向差分。